Question

已知sinθ+cosθ= 1 5 ，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sin 3 θ+cos 3

已知sinθ+cosθ= 1 5 ，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sin 3 θ+cos 3 θ

Answer 1

解∵sinθ+cosθ= 1 5 ，θ∈（0，π ）， ∴（sinθ+cosθ ） 2 = 1 25 =1+2sinθ cosθ， ∴sinθ cosθ=- 12 25 ＜0．由根与系数的关系知，sinθ，cosθ 是方程x 2 - 1 5 x- 12 25 =0的两根， 解方程得x 1 = 4 5 ，x 2 =- 3 5 ． ∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ= 4 5 ，cosθ=- 3 5 ． 则tanθ=- 4 3 ； sin 3 θ+cos 3 θ= 37 125 ． 故（1）tanθ=- 4 3 ．（2）sin 3 θ+cos 3 θ= 37 125 ．