Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；

在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设bn＝1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a_n+1=a_n+c
∴a_n+1-a_n=c
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以c为公差的等差数列
a₂=1+c，a₅=1+4c
又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列
∴（1+c）²=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，a_n=2n-1
∴bn＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
∴Sn＝

1

2

[(1? 

1

3

)+(

1

3

 ?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1)]

=

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

Answer 2

(1)由题意得，数列an为首项a1=1，公差为d=c的等差数列
an=a1+(n-1)*c
因为a1
a2
a5为公比不为1的等比数列，得
a1*a5=a2^2
1+4c=(1+c)^2
化简得
c^2-2c=0
所以c=0或c=2，因为c=0与题目不符，所以c=2
(2)因为c=2，所以an=2n-1
an*a(n+1)=(2n-1)*(2n+1),
所以bn=1/(2n-1)*(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Sn=b1+b2+........+bn-1+bn
=[1-1/3+1/3-1/5+......+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)
第二题使用的是列项相消法，一般这种题目都有相似点，如1/(n+1)(n-1),遇到这种题目，首先要想
1/(n-1)-1/(n+1)看得出的数是否和原来的一样，如果不一样就要做相对应措施。如本题，相减之后是原来的2倍，所以要除以2。
如果不明白，可以问我。